꿈라CBT다음 <보기>의 세 추정량에 대한 평가로 가장 적절한 것은?
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모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^{2}\)인 모집단에서 크기 n = 9인 표본 \(x_{1}, \cdots, x_{9}\)를 추출하였다. 모평균을 추정하기 위해 세 가지 추정량을 검토한다.
| 추정량 | 정의 | 기댓값 | 분산 |
|---|---|---|---|
| \(T_{1}\) | 표본 전체 9개의 평균 | \(\mu\) | \(\sigma^{2}\) / 9 |
| \(T_{2}\) | 첫 번째 값 \(x_{1}\) 하나만 사용 | \(\mu\) | \(\sigma^{2}\) |
| \(T_{3}\) | 표본 전체 평균에 0.9를 곱한 값 | \(0.9\mu\) | \(0.81\sigma^{2}\) / 9 |
- 1\(T_{3}\)은 분산이 \(T_{1}\)보다 작으므로 세 추정량 중 가장 우수하며, 기댓값이 \(0.9\mu\)인 것은 큰 문제가 되지 않는다.
- 2\(T_{1}\)·\(T_{2}\)는 모두 불편추정량이나 \(T_{1}\)이 더 효율적이고, \(T_{3}\)은 기댓값이 \(\mu\)가 아니라 편향되었다.
- 3\(T_{2}\)는 표본을 하나만 사용하므로 불편추정량이 될 수 없으며, 추정량으로서의 자격 자체가 없다.
- 4세 추정량 모두 표본에서 계산되므로 표본 크기 n을 충분히 늘리면 모두 모평균 \(\mu\)에 수렴한다.